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密度函数

密度函数在图形中经常出现(例如,”概率密度函数”),它们有时会出人意料地令人困惑,但准确掌握它们是什么将有助于我们使用它们,并在困惑袭来时为我们导航。我们知道什么是函数,而密度函数就是一个能返回密度的函数。那么,什么是密度?密度是一种 “每单位的东西”,或者更正式地说,是一种密集量。例如,你的体重不是一个密度,它是一个广泛的量,或者说只是一个东西的数量,而不是一个单位东西的数量。一个人在一定时期内可能增加的体重,例如一年,是一个东西的数量,以公斤为单位,因此是一个广泛的数量,而不是一个密度。这个人 “每天 “或 “每小时 “增加的体重是一个密集量,所以是一个密度。

作为一个非密度函数的例子,考虑在某一天,即2014年7月1日,由太阳能电池板产生的能量,让我们说它是120千焦耳。这是一个 “东西 “的数量。嗯,这很好,但它足以运行我的电脑吗?我的电脑,如果是台式机,需要一个密度的能量,或者说是能量的速率,以保持工作。那么,我们如何把这一天的能量,转换成能量的速率。我们可以把它划分为不同的时间段。例如,我们可以做四小时的区段,两小时的区段,或一小时的区段,我们会看到速率在一天中的变化,但也会看到数量不断变短,如图2.22所示。

图2.22. 当设定的时间间隔内产生多少能量的直方图降低时间间隔时,方框的高度会下降(在极限情况下高度为零,因为宽度为零)。

随着我们把时间划分得越来越细,我们最终会下降到分和秒,我们会得到更多关于时间变化的信息,但是盒子的高度会变得非常小,我们什么都看不到。因此,我们可以做的是根据它们的宽度重新调整其盒子的高度,所以(30kJ)/(0.5 h)=60 kJ/h。如果我们使用这个新的 “每小时KJ “衡量标准,盒子不再变短,如图2.23所示。如果我们把这个过程带到盒子的宽度变得无限小的极限,我们会得到一条平滑的曲线。

这条曲线是一个密度函数的例子。它被一些人称为 “能量密度 “函数,其中密度的维度是时间,而一些情况下会被称为 “时间能量密度 “函数。由于这种特殊的密度非常有用,而且经常被谈论,因此它有了自己的名字–功率,而不是说 “每小时焦耳”,我们说瓦特。请注意,按照惯例,”瓦特 “是每秒焦耳,而不是每小时;选择具体单位而不是尺寸是为了方便。例如,有些物理单位用米更有意义,有些用公里,有些用纳米(还有一些像光的光谱辐射度在同一数量中同时使用米和纳米,所以当你发现自己被混淆时,这不是你的错)。

把这些放在一起,(1)密度总是某种比率,你说 “每单位Y有多少X “或 “每Y有多少X”,就像 “每小时有多少公里”(说 “每单位长度有多少公里 “会很奇怪,但如果大家都默认长度单位是什么就说得通),(2)密度函数是一个返回密度的函数。

图2.23. 如果我们把能量除以盒子的宽度,随着进一步的划分,它变得更加详细。

密度函数本身对于比较两个不同点的相对浓度很有用。例如,用我们的能量密度函数定义在时间上(功率),我们可以说 “下午2点的功率是上午9点的两倍”。但我们可以使用它们的另一种方式是计算一个地区的总量。例如,要计算下午2点到4点之间产生了多少能量,我们只需进行积分。

E = $\int_{2pm}^{4pm} P(t)dt$

很多积分都是这样的”密度函数积分”但这并不是很清楚。有时候,如果你梳理出一个积分是否处理了某个区间或区域内密度函数的“质量”,事情就会变得更清楚。

 

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