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解一元二次方程

二次方程的形式是

A$x^2$ + Bx + C = 0

其中x是一个真实的未知数,A、B和C是已知的常数。如果考虑2d xy图,y = A$x^2$ + Bx + C的解就是任意x值在y中的“零交叉”。因为y = A$x^2$ + Bx + C是一个抛物线,所以会有0、1或2个实解,这取决于抛物线是否偏离、擦过或击中x轴(图2.5)。

$x^2$ + $\frac{B}{A}$x +$\frac{C}{A}$ = 0

然后,我们 “完全平方 “来分组。

$(x+\frac{B}{2A})^2$ – $\frac{B^2}{4A^2}$ + $\frac{C}{A}$ = 0

将常数部分移到右边,然后取平方根,得到

X + $\frac{B}{2A}$ = $\pm\sqrt[]{\frac{B^2}{4A^2} – \frac{C}{A}}$

从两边减去$\frac{B}{2A}$,然后用分母2A分组,可以得到我们熟悉的形式:【1】

X = $\frac{-B\pm\sqrt[]{B^2-4AC}}{2A}$        (2.1)

这里,”±”符号意味着有两个解,一个是加号,一个是减号。因此,3±1等于 “二或四”。请注意,决定实数解数量的项是

D ≡ $B^2$ − 4AC

这被称为二次方程的判别式。如果D>0,有两个实数解(也叫根)。如果D=0,有一个实数解(一个 “双 “根)。如果D<0,则没有实数解。

例如,2$x^2$ +6x +4 = 0的根是x = -1和x = -2,方程$x^2$ +x+1没有实解。这些方程的判别式分别为D=4和D=-3,所以我们期望得到解的数量。在程序中,通常是先判断D,如果D为负数,则返回 “无根 “而不取平方根。

图2.5. 一元二次方程的根的几何解释是抛物线与x轴的交点。


【1】 一个稳健的实现将使用等价的表达式$\frac{2C}{-B±\sqrt[]{B^2-4AC}}$来计算其中一个根,这取决于B的符号(练习7)。

 

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